Cara Mudah Mengerjakan Soal Barisan dan Deret, Materi Matematika SMP

Hai sahabat Ahzaa, hari ini kita akan belajar materi Matematika dalam topik tentang barisan dan deret Matematika SMP. Materi barisan dan deret merupakan salah satu materi matematika yang mempelajari tentang pola bilangan, barisan maupun deret. 

Nah, pada kesempatan kali ini akan kita baahs setuntas mungkin tentang barisan dan deret. Pada setiap pokok bahasan juga kami lengkapi dengan latihan soal plus pembahasan untuk memudahkan dalam memahami materi. 

Image by Venita Oberholster from Pixabay

Baik, langsung saja kita mulai yaa ... Semoga Bermanfaat.

A. Pola Bilangan

1. Pola bilangan asli ganjil

- Pola bilangan asli ganjil adalah 1,3,5,7,9,11,....

- Rumus suku ke-n pola bilangan asli ganjil adalah Un= 2n - 1

- Jumlah n bilangan ganjil yang pertama adalah Sn = n²

2. Pola bilangan asli genap

- Pola bilangan asli genap adalah 2,4,6,8,10,12, ....

- Rumus suku ke-n pola bilangan asli genap adalah Un = 2n

- Jumlah n bilangan asli genap adalah Sn = n(n+1)

3. Pola bilangan kuadrat

- Pola bilangan kuadrat adalah 1,4,9,16,25,36, ....

- Rumus suku ke-n pola bilangan kuadrat adalah Un = n²

4. Pola bilangan kubik

- Pola bilangan kubik adalah 1,8,27,64,125,216, ....

- Rumus suku ke n pola bilangan kubik adalah Un = n³

5. Pola bilangan persegi

- Pola bilangan persegi adalah 1,4,9,16,25,36,49,64,81, ....

- Rumus suku ke-n pola bilangan persegi adalah Un = n²

6. Pola bilangan Persegi panjang

- Pola bilangan persegi panjang adalah 2,6,12,20,30,42, ....

- Rumus pola bilangan persegi panjang adalah Un = n(n+1)

7. Pola bilangan segitiga

- Pola bilangan segitiga adalah 1,3,6,10,15,21, ....

- Rumus pola bilangans egitiga adalah Un = 1/2 n(n+1)

B. Pola Bilangan Fibonacci

1. Pola bilangan Fibonacci adalah pola bilangan dimana suku berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua suku sebelumnya

Un = U_n-2 + U_n-1

Contoh :

1,3,4,7,11,18,29,47, ...

5,6,11,17,28,45,73,118, ....

C. Pola bilangan segitiga Pascal

source : pngtree

1. Pola bilangan pada setiap baris :

Baris 1:1

Jumlah = 1

Baris 2: 1, 1

Jumlah = 2

Baris 3 : 1,2,1

Jumlah = 4

Baris 4 : 1,3,3,1

Jumlah = 8

Baris 5 : 1,4,6,41

Jumlah = 16

dan seterusnya

2. Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2^n-1

Contoh Soal :

Tentukan jumlah bilangan - bilangan pada pola segitiga Pascal untuk :

a. baris ke-7

b. baris ke-10

Jawab :

a. Jumlah bilangan baris ke-7 = 2^7-1 = 2⁶ = 64

b. Jumlah bilangan baris ke-10 = 2^10-1 = 2⁹ = 512

3. Pola bilangan pada setiap diagonal

Diagonal 1 : 1,1,1,1,1,1, ....

Diagonal 2 : 1,2,3,4,5,6,7, ....

Diagonal 3 : 1,3,6,10,15, ....

4. Penggunaan pola bilangan segitiga Pascal :

- Menentukan koefisien bentuk aljabar suku banyak (polinominal)

Contoh :

1. (x+y)¹ = x + y

2. (x+y)²= x ² + 2xy + y²

3. (x+y)³ = x ³ + 3x²y + 3y² + y³

 

dan seterusnya

- Menentukan banyak himpunan bagian dari suatu himpunan.

Contoh soal :

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan berikut!

a. A = {a,b,c,d}

b. B = {a,i,u,e,o}

Jawab :

a. A = {a,b,c,d}

jelas  n(A) = 4

Perhatikan pola segitiga pascal pada baris kelima

Pola segitiga pascal pada baris kelima adalah 1,4,6,4,1

Jasi banyak himpunan bagian dari himpunan A = 1+4+6+4+1 = 16

b. B = {a,i,u,e,o}

jelas  n(B) = 5

Perhatikan pola segitiga pascal pada baris keenam

Pola segitiga pascal pada baris keenam adalah 1,5,10,10,5,1

Jasi banyak himpunan bagian dari himpunan A = 1+5+10+10+5+1 = 32

Diketahui himpunan P = {1,2,3,4,5}. Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan P yang terdiri dari :

a. 2 anggota

b. 3 anggota

c. 4 anggota

Jawab :

Jelas n (P) = 5

Perhatikan pola bilangan pada segitiga pascal baris ke-6 yaitu :1,5,10,10,5,1

a. Banyak himpunan bagian P yang terdiri dari 2 anggota adalah 10 buah

b. Banyak himpunan bagian P yang terdiri dari 3 anggota adalah 10 buah

c. Banyak himpunan bagian P yang terdiri dari 4 anggota adalah 5 buah

D. Barisan Aritmatika

1. Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih tetap antarsuku.

Contoh : 1,5,9,13,17,21,25, ....

2. rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah  Un = a+(n-1) b

a = suku pertama

b = selisih antarsuku

Contoh Soal

Diketahui barisan aritmatika 3,7,11,15, ..... Tentukan suku ke-27!

Jawab :

Un = a+ (n-1)b

U27 = 3 + (27-1) *4

= 3 + 26 * 4

= 3 + 104

= 107

Jadi suku ke-27 adalah 107

Jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika adalah Sn = 1/2 n (2a + (n-1)b) atau Sn = 1/2 n (a+Un)

a = suku pertama

b = selisih antarsuku

Un = suku terakhir

Un = S_n - S_n-1

E. Barisan Geometri

1. Barisan geometri adalah barisan yang memiliki perbandingan (rasio) tetap antarsuku

Contoh : 2,6,18,54,162, ....

2. Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = a*r^n-1

a = suku pertama

r = rasio antarsuku

Nilai rasio ditentukan dengan r = Un/U_n-1

F. Pola bilangan yang jumlah kedua bilangan sama dengan hasil kalinya

1. Jika bilangan I = n, maka bilangan II = n/(n-1)

 

Contoh :

Jumlah dua buah bilangan sama dengan hasil kalinya. Tentukan bilangan lainnya jika bilangan tersebut 

3

Jawab :

a. Bilangan I = 3

Bilangan II = 3/(3-1)

= 3/2

3 + 3/2 = 3 * 3/2

6/2 + 3/2

= 9/2

G. Pola bilangan yang selisih kedua bilangan sama dengan hasil kalinya

Jika bilangan I = n, maka bilangan II = n/(n+1)

Contoh : 

Selisih dua buah bilangan sama dengan hasil kalinya. Tentukan bilangan lainnya jika bilangan yang satu adalah 5

Jawab :

Bilangan I = 5

Bilangan II = 5/(5+1) = 5/6

5- 5/6 = 30/6 - 5/6 = 25/6

= 5 * 5/6 = 25/6

H. Banyak jabat tangan dari n orang

Banyak jabat tangan yang dapat dilakukan oleh n- orang jika setiap orang saling berjabat tangan adalah 1/2 *n(n-1)

Contoh :

Dalam suatu pertemuan dihadiri oleh 40 orang . Berapa banyak jabat tangan yang mungkin jika setiap orang yang hadir saling berjabat tangan!

Jawab :

Banyak jabat tangan = 1/2 n (n-1)

= 1/2 * 40 (40-1)

= 20 * 39

= 780 kali

Contoh soal Ujian Sekolah

1. Selembar kertas dipotong menjadi 2 bagian. Setiap bagian dipotong lagi menjadi 2 dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan yang kelima adalah ....

a. 12 bagian

b. 16 bagian

c. 32 bagian

d. 64 bagian

Pembahasan :

1 --> 2 bagian

2 --> 4 bagian

3 --> 8 bagian

4 --> 16 bagian

5 --> 32 bagian

Jawaban (C)

2. Suku ke-n barisan 1,3,6,10,15,21, .... adalah ....

a. n (n+1)

b. (n(n+1))/2

c. n(n+2)

d. (n(n+2)/2

Pembahasan :

Suku ke- 3 = U3 = 6

a. Un = n(n+1)

U3 = 3 (3 + 1)

= 3 * 4

= 12

b. Un = (n(n+1))/2

Un = (3(3+1))/2 = (3*4)/2= 12/2 = 6

jadi yang benar adalah B

3. Suku ke-40 barisan 7,5,3,1 ,.... adalah ....

a. -69

b. -71

c. -73

d. -75

Pembahasan :

Barisan 7,5,3,1 ,.... adalah barisan aritmatika dengan a = 7 dan beda -2. Untuk barisan aritmatika,

Un = a + (n-1)*b

Jadi U40 = 7 + (40-1) * (-2)

= 7 + 39*(-2)

= 7 - 78 

= -71

4. Di ruang pertunjukan, baris terdepan tersedia 15 kursi, baris di belakangnya tersedia 3 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Jika dalam ruang tersebut tersedia 10 baris kursi, maka banyak kursi yang ada diruang tersebut adalah ....

a. 150 buah

b. 285 buah

c. 300 buah

d. 570 buah

Pembahasan :

Barisan tersebut adalah barisan aritmatika dengan a = 15 dan b = 3

Sn = 1/2 n (2a + (n-1)b)

Sn = 1/2 * 10(2*15+(10-1)*3)

Sn = 5 *(30 + 27)

= 5* 57

= 285

5. Pada suatu pertemuan, setiap orang yang hadir harus berjabat tangan dengan semua peserta. Jika pertemuan tersebut dihadiri 10 orang maka banyak jabat tangan yang terjadi adalah ....

a. 20 kali

b. 28 kali

c. 45 kali

d. 55 kali

Pembahasan :

Banyak jabat tangan yang dihadiri oleh n orang adalah 

Sn = 1/2 n(n-1)

S10 = 1/2 * 10(10-1)

= 5 * 9

= 45